7. Rozkład dwumianowy i normalny.

Rozkład dwumianowy. Nazywany inaczej rozkładem Bernoulliego należy do rozkładów dyskretnych – zmienna losowa przyjmuje skończoną liczbę wartości. Prawdopodobieństwo, że zmienna o takim rozkładzie przyjmie wartość k (k = 0,1,…,n) wynosi:

gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczym doświadczeniu.

Przykładowo: rzucamy kilkoma monetami symetrycznymi (prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi p=1/2). Wykresy obrazują rozkłady prawdopodobieństwa wyrzucenia k orłów przy n rzutach:

Wykresy potwierdzają potoczną obserwację, że częściej zdarza się wyrzucić trochę orłów i trochę reszek niż same orły lub same reszki. Ta obserwacja posłużyła– Karolowi Fryderykowi Gaussowi do opracowania rozkładu normalnego.

Rozkład normalny jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa, którego gęstość jest dana wzorem:

Parametry µ i σ oznaczają odpowiednio wartość średnią i odchylenie standardowe rozkładu. Poniższy wykres ilustruje „regułę trzech sigm”: Około 99,7% pola pod wykresem krzywej Gaussa znajduje się w odległości trzech odchyleń standardowych od średniej.

.
i, oczywiście

W szczególnym wypadku, gdy µ = 0 a σ = 1, rozkład nazywamy standardowym. Gęstość rozkładu normalnego standardowego dana jest wzorem:

Przykład: W pułku służy 1789 żołnierzy. Rozkład wzrostu tych żołnierzy jest normalny. Średnia wynosi 174 cm a odchylenie standardowe 11 cm. Ile kompletów umundurowania należy przygotować dla żołnierzy o wzroście od 160 do 180 cm?

Rozwiązanie 1. Przy pomocy arkusza kalkulacyjnego Excel obliczamy prawdopodobieństwo, że losowo wybrany żołnierz ma wzrost poniżej 160 cm.

Podobnie obliczamy prawdopodobieństwo, że losowo wybrany żołnierz ma wzrost poniżej 180 cm.

Zatem prawdopodobieństwo wzrostu żołnierza w zadanym przedziale wynosi:
0,7-0,1=0,6. Liczba kompletów umundurowania to 1789*0,6 = 1073,4 ≤ 1074.

Rozwiązanie 2. Jeśli nie dysponujemy arkuszem kalkulacyjnym musimy się posłużyć tablicami statystycznymi. Zawarte są tam wartości dystrybuanty rozkładu normalnego ale tylko standardowego. Musimy dokonać standaryzacji naszej zmiennej losowej korzystając z twierdzenia: Jeśli zmienna X o rozkładzie normalnym ma średnią µ i odchylenie standardowe σ (co zapisujemy X ~ N(µ,σ)) to zmienna

ma rozkład normalny standardowy Z ~ N(0,1).

W naszym przykładzie

Odczytujemy z tablic wartości dystrybuanty rozkładu standardowego i postępujemy jak poprzednio.