(image)

Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2

Rozdział 9 Rozkład normalny

Najważniejszym rozkładem jest tak zwany rozkład normalny zwany także rozkładem Gaussa.

Rozkład normalny, \(N(m,\sigma )\). Rozkład \(Q\) nazywamy rozkładem normalnym, jeżeli istnieją takie liczby rzeczywiste \(m\) oraz \(\sigma >0\), że funkcja \(f\colon \r \str \r \), określona wzorem:

\[ f(x) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }\,e^{-\frac {1}{2}(\frac {x - m}{\sigma })^2}\;\;\mbox { dla } x\in \r , \]

jest gęstością tego rozkładu.

(image)
Zmień \(m\) Zmień \(\sigma \)

\(f\) jest rzeczywiście gęstością. Wiadomo (ćwiczenie z analizy matem.), że

\[ \int _{-\infty }^\infty e^{-\frac {1}{2}t^2}\,dt = \sqrt {2\pi }. \]

Stosując podstawienie \(t = \frac {x-m}{\sigma }\) otrzymujemy: \(\di \int _{-\infty }^\infty f(x)\,dx = \int _{-\infty }^\infty \frac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }\,e^{-\frac {1}{2}(\frac {x - m}{\sigma })^2}\,dx = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _{-\infty }^\infty e^{-\frac {1}{2}t^2}\,dt = 1 \),

Interpretacja parametrów \(m\) – punkt maksimum globalnego gęstości (ćwiczenie).

\(m - \sigma \), \(m +\sigma \) – punkty przegięcia gęstości (ćwiczenie).

\(E(X) = m\), \(D^2(X) = \sigma ^2\).

Dowód. Proste całkowanie przez podstawienie .   \(\Box \)

Oznaczenie. \(\Phi _{m,\sigma }\) – dystrybuanta rozkładu normalnego \(N(m, \sigma )\), czyli

\[ \Phi _{m,\sigma }(x) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma } \int _{-\infty }^x e^{-\frac {1}{2}(\frac {t- m}{\sigma })^2}\,dt \]

9.1 Standardowy rozkład normalny, \(N(0,1)\)

Rozkład \(N(0,1)\) – standardowy rozkład normalny.

\(E(X) = 0\), \(D^2(X) = 1\).

Oznaczenie. \(\Phi \) = \(\Phi _{0,1}\) – dystrybuanta rozkładu normalnego standardowego, czyli

\[ \Phi (x) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _{-\infty }^x e^{-\frac {1}{2}t^2}\,dt. \]

(image)
\(\Phi (1) = 0.8413447461 \)

(image)
\(\Phi (2) = 0.9772498681 \)

Pożyteczne wzory (ćwiczenie):

\[\Phi (0) = 0.5,\]

\[\Phi (-x) = 1 - \Phi (x),\]

\[P(|X| < \ve ) = \Phi (\ve ) - \Phi (-\ve ) = 2 \Phi (\ve ) - 1, \mbox { gdy } X \sim N(0,1),\]

\[ \Phi _{m,\sigma }(x) = \Phi \left (\frac {x-m}{\sigma }\right ).\]

Przed erą komputerową w powszechnym użyciu były tablice roznkładu \(N(0,1)\).

\(x\) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990