Fraktale, czyli jak z prostego wzoru uzyskać niesamowicie skomplikowane kształty geometryczne oraz gdzie je można zastosować

Fraktale wpisują się obecnie w trendy pop-kultury: chętnie wykorzystują je projektanci ubrań i ozdób, pojawiają się dzieła sztuki do nich nawiązujące, a nawet istnieje nurt sztuki tworzonej przy pomocy komputera, gdzie właśnie fraktale występują w roli głównej. W pop-kulturze oceniany jest przede wszystkim ich walor estetyczny, co oczywiście nie spłyca ich potęgi - są przepiękne i każdemu, kto spotyka się z tym zagadnieniem po raz pierwszy, radzę wpisać kilka haseł dot. fraktali w wyszukiwarkę i samemu o tym przekonać się.

Jednak misterne kształty i piękne kolory nie są tutaj przypadkiem: rządzi nimi matematyka, zaskakująco prosta jak na tak skomplikowane kształty, bo sprowadza się właściwie do działań algebraicznych, czyli tych ze szkolnej ławki z podstawówki. Tajemnica tych kształtów kryje się w tak zwanej iteracyjności, czyli powtarzania pewnych działań matematycznych na wynikach uzyskanych w poprzednim kroku. W wyniku takich prostych działań, a konkretnie podnoszenia do kwadratu i dodawania, powstał najbardziej skomplikowany obiekt geometryczny kiedykolwiek stworzony przez człowieka, znany obecnie jako zbiór Mandelbrota. Nazwany został w ten sposób, aby uczcić jego autora, matematyka, który zasłużenie uzyskał przydomek "ojca geometrii fraktalnej" - Benoita Mandelbrota.

Ot taki niepozorny, wydawałoby się, "żuczek" i od razu najbardziej skomplikowany obiekt geometryczny? Otóż zbiór Mandelbrota, który ujrzał światło dzienne po raz pierwszy nieco ponad 30 lat temu, jest niesłychanie skomplikowany, a stopień jego skomplikowania rośnie w zależności od tego, jak bardzo powiększymy jego brzeg. Tak, właśnie brzeg, bo jedynie brzeg zbioru Mandelbrota ma właściwości fraktalne, m.in. jest samopodobny. W zbiorze Mandelbrota można znaleźć zadziwiające kształty, nie tylko liczne kopie samego "żuczka", ale również kształty do złudzenia przypominające koniki morskie lub karawanę słoni. Stopień skomplikowania można podejrzeć np. na poniższym wideo.

Tyle, jeżeli chodzi o bardzo krótkie wprowadzenie do teoretycznych kwestii powstawania tych skomplikowanych kolorowych obrazów. Jednak, wśród inżynierów i pragmatyków, niewątpliwie powstaje pytanie: No dobra, mamy fajne obrazki, możemy je nadrukować na koszulce lub utkać według takiego wzoru dywan. Ale czy fraktale mogą być przydatne w naszej codziennej pracy?

Otóż, mogą i przydają się coraz częściej. W analizach rynkowych fraktale stały się już niemal klasycznym narzędziem do prognozowania zachowań rynkowych. Takie prognozy zapoczątkował sam Benoit Mandelbrot, który jako jeden z pierwszych opisał prawidłowości w obserwacjach zmienności cen bawełny w okresie 100 lat. Wraz z rozwojem mocy komputerów fraktale stały się powszechne przy efektach specjalnych w wielu produkcjach kinowych, począwszy od Star Treka i Gwiezdnych Wojen, a skończywszy na Strażnikach Galaktyki i Lucy sprzed kilku lat. Fraktale umożliwiają wykonanie tych efektów tak bardzo realistycznie, że odróżnienie obrazu wygenerowanego komputerowo od rzeczywistego jest prawie niemożliwe. Na podstawie fraktali tworzone są algorytmy szyfrujące, które zabezpieczają nasze dane wrażliwe. Ba, nawet w naszych telefonach komórkowych anteny, mogące działać w wielu pasmach częstotliwościowych jednocześnie, też mają kształt fraktala i dzięki temu mają tę zdolność do pracy w różnych pasmach. Takich przykładów jest mnóstwo w chemii, mechanice, astronomii i astrofizyce, architekturze i biologii, a zastosowań jest jeszcze więcej.

Niesamowite właściwości fraktali oraz ich kilkutysiącletnią tradycję w wielu kulturach świata opisałem w swojej najnowszej książce popularno-naukowej "Fraktale. Matematyczne potwory, które odmieniły postrzeganie świata". Ukazała się drukiem w mojej Alma Mater ok. trzy tygodnie temu. Inauguracyjny post na LinkedIn można znaleźć tutaj.

A może Wy macie jakieś ciekawe zastosowania fraktali w swojej działalności? Lub chcielibyście dowiedzieć się więcej o właściwościach lub jakichś szczególnych zastosowaniach fraktali? Zachęcam do dyskusji w komentarzach.